20q^5+q^3+q^2+q+1=0

20q^5+q^3+q^2+q+1
= (q+1/2)(10q^4-5q^3+3q^2-2q+1)

10q^4-5q^3+3q^2-2q+1 > 0

所以 20q^5+q^3+q^2+q+1=0 只有一个实数解 q = - 1/2

q=-1/2，其他解均为复数。
很抱歉，没有具体求解过程。
事实上5次及更高次的方程是没有求根公式的，能给出求解公式的话就可以获数学奖了，也就是说这类方程只能找机会解。